三轮全向移动底盘运动学解析

三轮全向移动底盘因其良好的运动性并且结构简单,近年来备受欢迎。三个轮子互相间隔120°,每个全向轮由若干个小滚轮组成,各个滚轮的母线组成一个完整的圆。机器人既可以沿轮面的切线方向移动,也可以沿轮子的轴线方向移动,这两种运动的组合即可以实现平面内任意方向的运动。

运动学分析


为便于运动学分析,我们以理想情况为基础,三个轮子相对于车体的中轴线对称,且物理尺寸重量等完全一致;上层负载均衡,机器人的重心与三个轮子转动轴线的交点重合;三个轮体与地面摩擦力足够大,不会发生打滑现象;机器人中心到三个全向轮的距离相等。
定义绝对坐标系 XOY,机器人自身坐标系 X’O’Y’。机器人的姿态角为 θ,即机器人自身坐标相对于绝对坐标的旋转角度。机器人自身旋转的角速度设为 WL 为三个轮子相对于机器人中心的距离,$V_A$,$V_B$,$V_C$ 分别表示三个轮子沿驱动方向的速度;角度 ψ 为 轮子与机器人坐标系 X 轴的夹角,这个夹角我们可以算出为 60°。我们假定机器人在任意时刻的速度为 $V = [V_x,V_y,W]$,其中 $V_x$ 和 $V_y$ 分别为机器人在自身坐标系下的 XY 轴方向的速度,W 为机器人运动的角速度,假定顺时针方向为正方向。那么可得出机器人运动学方程:
$ V_A= V_x + L W $
$ V_B= -V_x cosψ + V_y sinψ + L W $
$ V_C= -V_x cosψ - V_y sinψ + L W $
写成矩阵形式为:
$\left[
\begin{matrix}
V_A \\
V_B \\
V_C \\
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & L \\
-cosψ & sinψ & L \\
-cosψ & -sinψ & L
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
V_x \\
V_y \\
W \\
\end{matrix}
\right] $
车轮的线速度还可以表示为:
$ V_A = Rω_A $
$ V_B = Rω_B $
$ V_C = Rω_C $
式中 R 为全向轮的半径,ω 为全向轮旋转角速度,因此得出:
$\left[
\begin{matrix}
ω_A \\
ω_B \\
ω_C \\
\end{matrix}
\right] = R^{-1}
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & L \\
-cosψ & sinψ & L \\
-cosψ & -sinψ & L
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
V_x \\
V_y \\
W \\
\end{matrix}
\right]$
以上是机器人在自身坐标系下的运动学方程,实际应用中还需要转换为全局坐标系,上图中机器人自身坐标与全局坐标的夹角为 θ,假设机器人在全局坐标系中的速度为
$V_g = [V_gx,V_gy,W_g]$
那么可以推出:
$V_gx = V_xcosθ - V_ysinθ $
$V_gy = V_xsinθ + V_ycosθ $
因此可以推出机器人相对于自身坐标下的速度 $V = [V_x,V_y,W]$ 与机器人相对于全局坐标下的速度 $V_g = [V_gx,V_gy,W_g]$ 之间的变换关系:

$R(θ)=
\left[
\begin{matrix}
cosθ & -sinθ & 0 \\
sinθ & cosθ & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}
\right]$

因此两个坐标系下的变换可写成:

$\left[
\begin{matrix}
V_gx \\
V_gy \\
W_g \\
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
cosθ & -sinθ & 0 \\
sinθ & cosθ & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
V_x \\
V_y \\
W \\
\end{matrix}
\right]$

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